✅@2023-04-28T08:50D90 AM4-2023F-3

今日は教室を間違えていない

前回

復習

$ w:k\mapsto e^{2\pi\frac{k}{N}i}

$ \sum_{0\le j<N}{w_j}^{n-m}=\sum_{0\le j<N}\left(e^{2\pi\frac{n-m}{N}i}\right)^j

$ = N\llbracket n=m\rrbracket+\frac1{e^{2\pi\frac{n-m}{N}i}-1}\sum_{0\le j<N}\varDelta\left(e^{2\pi\frac{j(n-m)}{N}i}\right)\llbracket n\neq m\rrbracket

これを入れる

$ = N\llbracket n=m\rrbracket+\frac{e^{2\pi(n-m)i}-1}{e^{2\pi\frac{n-m}{N}i}-1}\llbracket n\neq m\rrbracket

$ = N\llbracket n=m\rrbracket+\frac{1-1}{e^{2\pi\frac{n-m}{N}i}-1}\llbracket n\neq m\rrbracket

$ = N\llbracket n=m\rrbracket+0

$ = N\llbracket n=m\rrbracket

数列を数列に変換するもの

$ \mathcal{F}_N:X_\bullet\mapsto k\mapsto\frac1N\sum_{0\le n<N}X_ne^{-2\pi\frac nNki}

$ {\mathcal{F}_N}^{-1}:C_\bullet\mapsto n\mapsto\sum_{0\le k<N}C_ke^{2\pi\frac kNni}

今後、数列に地震記録などの物理的な意味を付与し、いろいろやってく

なぜこれがFourier変換と呼ばれるかもあとでやる

証明

$ {\mathcal{F}_N}^{-1}(\mathcal{F}_N(X_\bullet))_n=X_n

$ \because {\mathcal{F}_N}^{-1}(\mathcal{F}_N(X_\bullet))_n=\sum_{0\le k<N}\frac1N\sum_{0\le m<N}X_ne^{-2\pi\frac mNki}e^{2\pi\frac kNni}

$ = \frac1N\sum_{(k,m)\in [0,N\llbracket^2}X_ne^{2\pi\frac kN(n-m)i}

$ = \frac1NX_n\sum_{(k,m)\in [0,N\llbracket^2}e^{2\pi\frac kN(n-m)i}

$ = \frac1NX_n\sum_{0\le m<N}\sum_{0\le k<N}{w_k}^{n-m}

$ = \frac1NX_n\sum_{0\le m<N}N\llbracket n=m\rrbracket

$ = \frac1NX_nN

$ = X_n

https://kakeru.app/44949ba41eefc2110249a5f5dda925d4 https://i.kakeru.app/44949ba41eefc2110249a5f5dda925d4.svg

$ \mathcal{F}_4(X)_k=\frac14\sum_{0\le n<4}X_ne^{-2\pi\frac n4ki}

$ = \frac14\left(0+1\cdot e^{-\frac12k\pi i}+0.5\cdot e^{-\frac22k\pi i}+0\cdot e^{-\frac32k\pi i}\right)

具体的な値を求める

$ \mathcal{F}_4(X)_0=\frac14(0+1+0.5+0)=\frac14\cdot\frac32=\frac38

$ \mathcal{F}_4(X)_1=\frac14\left(0+1\cdot-i+0.5\cdot-1+0\right)=\frac14(-i-0.5)=-\frac18(1+2i)

$ \mathcal{F}_4(X)_2=\frac14\left(0+1\cdot-1+0.5\cdot 1+0\right)=\frac14(-1+0.5)=-\frac18

$ \mathcal{F}_4(X)_3=\frac14\left(0+1\cdot i+0.5\cdot -1+0\right)=\frac14(i-0.5)=-\frac18(1-2i)

さて、どう意味を読み取ればいいのやら

Fourier変換は周波数を分離できたはず

これも何らかの成分を分離した？

$ X_n=\frac38\cdot 1-\frac18(1+2i)\cdot e^{\frac12n\pi i}-\frac18\cdot e^{n\pi i}-\frac18(1-2i)\cdot e^{\frac32n\pi i}

$ X_0=\frac28-\frac28=0

$ X_1=\frac38-\frac18(1+2i)\cdot i-\frac18\cdot -1-\frac18(1-2i)\cdot -i=\frac48+\frac28+\frac28=1

$ X_2=\frac38-\frac18(1+2i)\cdot -1-\frac18\cdot 1-\frac18(1-2i)\cdot -1=\frac28+\frac28=\frac48=0.5

$ X_1=\frac38-\frac18(1+2i)\cdot -i-\frac18\cdot -1-\frac18(1-2i)\cdot i=\frac48+\frac18(-2+i)-\frac18(2+i)=0

練習問題

$ \mathcal{F}_N:X_\bullet\mapsto k\mapsto\frac1N\sum_{0\le n<N}X_ne^{-2\pi\frac nNki}

無限級数ではなくDFTから入ったのは、収束条件を考えなくてはならなくなったから